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Contenido
Primera Página
La transformación de la realidad
Una idea sin nombre
La gran síntesis
¿Cómo funcionan las wavelets?
Las wavelets en el futuro
Cronología
Créditos
  Wavelets: ver el bosque y los árboles

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La transformación de la realidad

El análisis de wavelets permite a los investigadores aislar y manipular tipos de patrones específicos ocultos en cantidades ingentes de datos, de forma muy parecida a como nuestros ojos observan los árboles de un bosque, o nuestros oídos pueden elegir el sonido de una flauta en una sinfonía. Una forma de comprender cómo consiguen hacer esto las wavelets es comenzar con la diferencia entre dos tipos de sonidos: un diapasón y la voz humana. Al golpear un diapasón se obtiene un tono puro que perdura largo tiempo. En la teoría matemática, se dice que dicho tono tiene una frecuencia "localizada"; es decir, que está formado por un solo tono sin armónicos de frecuencias superiores. Una palabra hablada, en contraste, sólo dura un segundo y, por tanto, está "localizada" en el tiempo. Su frecuencia no está localizada porque la palabra no es un solo tono, sino una combinación de muchas frecuencias distintas.

Los gráficos de las ondas sonoras producidas por el diapasón y por la voz humana resaltan la diferencia, como se ilustra en la página 3. Las vibraciones del diapasón trazan lo que los matemáticos denominan una onda sinusoidal, una curva suavemente ondulada que, en teoría, podría repetirse para siempre. En contraste, el gráfico de la palabra inglesa "greasy" ("grasiento") contiene una serie de picos agudos, sin oscilaciones.

Los gráficos de las ondas sonoras producidas por un diapasón (izquierda) y de la pronunciación de la palabra inglesa "greasy" (derecha) ilustran la diferencia entre un tono de frecuencia localizada y uno localizado en el tiempo. El diapasón produce una "onda sinusoidal" simple. (Cortesía de Ofer Levi, Universidad de Stanford)

En el siglo XIX, los matemáticos perfeccionaron lo que se podría denominar la versión del "diapasón" de la realidad, una teoría conocida como el análisis de Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemático francés, afirmó en 1807 que cualquier forma de onda repetitiva (o función periódica), como la onda sonora de un diapasón, se puede expresar como una suma infinita de ondas sinusoidales y cosinusoidales de diversas frecuencias. (Una onda cosinusoidal es una onda sinusoidal desplazada un cuarto de ciclo.)

Una demostración familiar de la teoría de Fourier se da en la música. Cuando un músico toca una nota, crea una onda sonora de forma irregular. La misma forma se repite durante tanto tiempo como el músico sostenga la nota. Por tanto, según Fourier, la nota se puede dividir en una suma de ondas sinusoidales y cosinusoidales. La onda de frecuencia más baja se denomina frecuencia fundamental de la nota, y las de mayor frecuencia se denominan armónicos. Por ejemplo, la nota La, en un violín o una flauta, tiene una frecuencia fundamental de 440 ciclos por segundo y armónicos con frecuencias de 880, 1320 y así sucesivamente. Aunque un violín y una flauta toquen la misma nota, el sonido será distinto porque sus armónicos tienen distinta fuerza o "amplitud". Como demostraron los sintetizadores de música en la década de 1960, sólo se puede conseguir una imitación muy convincente de un violín o una flauta mediante la recombinación de ondas sinusoidales puras de las amplitudes adecuadas. Y, por supuesto, eso es exactamente lo que predijo Fourier en 1807.

Posteriormente, los matemáticos ampliaron la idea de Fourier a funciones no periódicas (u ondas) que cambian en el tiempo, en lugar de repetirse en la misma forma para siempre. La mayoría de las ondas del mundo real son de este tipo: pongamos, por ejemplo, el sonido de un motor que acelera, reduce y se interrumpe de vez en cuando. En las imágenes también es importante la distinción entre patrones repetitivos y no repetitivos. Un patrón repetitivo se puede ver como una textura o fondo, mientras que un patrón no repetitivo es percibido por el ojo como un objeto. Para representar patrones repetitivos (fondo) de una imagen se pueden utilizar ondas periódicas o repetitivas formadas por una serie de armónicos. Las características no repetitivas se pueden resolver en un espectro de frecuencias mucho más complejo, denominado "transformación de Fourier", de la misma forma que la luz se puede descomponer en un espectro de colores. La transformación de Fourier representa la estructura de una onda periódica de forma mucho más reveladora y concentrada que lo haría el gráfico tradicional de una onda. Por ejemplo, una vibración de un motor aparecería como un pico de frecuencia inusual en la transformación de Fourier.

Las transformaciones de Fourier han sido un éxito. Durante el siglo XIX resolvieron muchos problemas de la física y de la ingeniería. Esta importancia llevó a científicos e ingenieros a pensar en ellas como la forma preferida de analizar fenómenos de todo tipo. Esta omnipresencia obligó a un examen más detallado del método. Como resultado, durante el siglo XX, matemáticos, físicos e ingenieros observaron un inconveniente en la transformación de Fourier: tenían problemas para reproducir señales fugaces o señales con cambios abruptos, tales como la palabra hablada o el golpe de un tambor con bordón. Los sintetizadores de música, por buenos que sea, no consiguen el sonido de los violinistas de concierto, porque la interpretación de un violinista contiene características fugaces, tales como el contacto del arco en la cuerda, que las representaciones basadas en ondas sinusoidales sólo consiguen imitar pobremente.

El principio subyacente a este problema se puede ilustrar mediante lo que se conoce como el principio de la indeterminación de Heisenberg. En 1927, el físico Werner Heisenberg afirmó que la posición y la velocidad de un objeto no se pueden medir exactamente al mismo tiempo, ni siquiera en teoría. En términos de procesamiento de señales, esto significa que es imposible conocer de forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta frecuencia en una señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, o viceversa. En términos musicales, el equilibrio significa que cualquier señal de duración corta debe tener un complejo espectro de frecuencias formado por una gran variedad de ondas sinusoidales, mientras que cualquier señal formada por una combinación simple de unas pocas ondas sinusoidales debe tener una apariencia compleja en el dominio del tiempo. Por tanto, no podemos esperar reproducir el sonido de un tambor con una orquesta de diapasones.

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