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Contenido
Primera Página
La transformación de la realidad
Una idea sin nombre
La gran síntesis
¿Cómo funcionan las wavelets?
Las wavelets en el futuro
Cronología
Créditos
  Wavelets: ver el bosque y los árboles

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La gran síntesis

 

Gráficos de varios tipos distintos de wavelets. (a) Wavelet de Haar, (b) Wavelet de Daubechies, (c) Wavelet de Morlet. (Cortesía de Ofer Levi, Universidad de Stanford)

Jean Morlet no pensaba iniciar una revolución científica. Sólo intentaba ofrecer a los geólogos una forma mejor de buscar petróleo.

Los geólogos del petróleo localizan normalmente los depósitos subterráneos de petróleo mediante ruidos intensos. Como las ondas sonoras viajan a través de distintos materiales a velocidades distintas, los geólogos podían deducir el tipo de material que se encontraba bajo la superficie enviando de ondas sísmicas a la tierra y midiendo la rapidez con la que rebotaban. Si las ondas se propagaban especialmente rápido a través de una capa, podía tratarse de una bóveda salina que podía retener una capa de petróleo bajo ella.

Sólo el cálculo de cómo se traduce la geología en una onda sonora (o viceversa) constituye un problema matemático difícil, que los ingenieros resolvían tradicionalmente mediante el análisis de Fourier. Desgraciadamente, las señales sísmicas contenían gran cantidad de señales transitorias, cambios abruptos en la onda a medida que pasa de una capa de rocas a otra. Estas señales transitorias contienen exactamente la información que buscan los geólogos, es decir, la localización de las capas de rocas, pero el análisis de Fourier extiende esa información espacial por todo el lugar.

Morlet, un ingeniero de Elf-Aquitanie, desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas para crear componentes que estuvieran localizados en el espacio, a los que denominó "wavelets de forma constante". Posteriormente, se conocerían como "wavelets de Morlet". Independientemente de que los componentes se dilaten, compriman o desplacen en el tiempo, mantienen la misma forma. Se pueden construir otras familias de wavelets adoptando una forma diferente, denominada wavelet madre, y dilatándola, comprimiéndola o desplazándola en el tiempo. Los investigadores descubrirían que la forma exacta de la wavelet madre afecta enormemente a las propiedades de compresión y precisión de la aproximación. Muchas de las diferencias entre versiones anteriores de wavelets sólo suponían opciones distintas de la wavelet madre.

El método de Morlet no estaba en los libros, pero parecía funcionar. En su computadora personal, consiguió separar una onda en las wavelets que la componían y, a continuación, volver a unirlas para formar la onda original. Pero no estaba satisfecho con esta demostración empírica, por lo que comenzó a preguntar a otros científicos si el método era matemáticamente coherente.

Morlet obtuvo la respuesta que deseaba de Alex Grossmann, un físico del Centre de Physique Théorique de Marsella. Grossmann trabajó con Morlet durante un año para confirmar que las ondas se podían reconstruir a partir de sus descomposiciones en wavelets. De hecho, las transformaciones de wavelets resultaron funcionar mucho mejor que las transformaciones de Fourier, porque eran mucho menos susceptibles a pequeños errores de cómputo. Un error o un truncamiento indeseados de los coeficientes de Fourier pueden transformar una señal suave en una saltarina o viceversa; las wavelets evitan tales consecuencias desastrosas.

El artículo de Morlet y Grossmann, el primero en que se utilizó la palabra "wavelet", se publicó en 1984. Yves Meyer, actualmente en la École Normale Supérieure de Cachan, reconocido ampliamente como uno de los fundadores de la teoría de las wavelets, conoció su trabajo en el otoño de ese mismo año. Fue el primero en darse cuenta de la conexión entre las wavelets de Morlet y las wavelets matemáticas anteriores, como las del trabajo de Littlewood y Paley. (De hecho, Meyer ha contado 16 redescubrimientos independientes del concepto de wavelet anteriores a la publicación del artículo de Morlet y Grossman.)

Meyer continuó su trabajo para descubrir un nuevo tipo de wavelet con una propiedad matemática denominada ortogonalidad que hacía que manipular y trabajar con la transformación de wavelets resultara tan fácil como con una transformación de Fourier. ("Ortogonalidad" significa que la información capturada por una wavelet es completamente independiente de la información capturada por otra.) Y lo que es quizá aún más importante, se convirtió en el nexo de unión de la naciente comunidad dedicada a las wavelets.

En 1986, Stéphane Mallat, un antiguo alumno de Meyer que estaba haciendo un doctorado en visión informática, vinculó la teoría de wavelets a la literatura existente sobre codificación de subbandas y filtros de duplicación de cuadratura, que son las versiones de las wavelets de la comunidad de procesamiento de imágenes. La idea del análisis multiresolución (es decir, la observación de señales a distintas escalas de resolución) ya era familiar para los expertos en procesamiento de imágenes. Mallat, en colaboración con Meyer, demostró que las wavelets están implícitas en el procesos del análisis multiresolución.

Gracias al trabajo de Mallat, las wavelets se convirtieron en algo mucho más sencillo. Ya se podía hacer un análisis de wavelets sin necesidad de conocer la fórmula de una wavelet madre. El proceso se redujo a sencillas operaciones de cálculo de promedio de grupos de píxeles en las que se toman sus diferencias una y otra vez. El lenguaje de las wavelets también resultaba más cómodo para los ingenieros eléctricos, que adoptaron términos familiares como "filtros", "altas frecuencias" y "bajas frecuencias".

La última gran salva de la revolución de las wavelets se disparó en 1987, cuando Ingrid Daubechies, mientras visitaba el Courant Institute de la Universidad de Nueva York y, posteriormente, durante su trabajo en loa laboratorios AT&T Bell, descubrió una clase completamente nueva de wavelets, que no sólo eran ortogonales (como las de Meyer) sino que también se podían implementar mediante sencillas ideas de filtrado digital, de hecho, mediante cortos filtros digitales. Las nuevas wavelets eran casi tan sencillas de programar y utilizar como las wavelets de Haar, pero eran suaves, sin los saltos de las wavelets de Haar. Los procesadores de señales disponían ahora de una herramienta de ensueño: una manera de descomponer datos digitales en contribuciones de diversas escalas. Al combinar las ideas de Daubechies y Mallat, se disponía de una transformación ortogonal y sencilla que se podía calcular rápidamente en las modernas computadoras digitales.

Las wavelets de Daubechies tienen características sorprendentes, tales como conexiones estrechas con la teoría de fractales. Si su gráfico se observa aumentado, se pueden apreciar curvas de líneas irregulares con picos, independientemente del grado de aumento. Esta exquisita complejidad de detalle significa que no hay una fórmula simple para estas wavelets. Son desgarbadas y asimétricas; los matemáticos del siglo XIX habrían retrocedido ante ellas con horror. Pero al igual que el Ford modelo T, son bellas porque funcionan. Las wavelets de Daubechies convierten la teoría en una herramienta práctica que cualquier científico con una formación matemática mínima puede programar y utilizar fácilmente.

Las wavelets se pueden utilizar para filtrar una señal de un ruido. Las imágenes superiores muestran la señal original, que presenta saltos y tramos suaves (a) y una versión con ruido de la señal, de la que se desearía "eliminar el ruido" (b). En la parte inferior, el resultado de la eliminación de ruido mediante las wavelets de Haar produce una línea irregular en lugar de una curva suave (c); en contraste, si se utilizan las wavelets de Daubechies producen una curva más suave (d). (Cortesía de Ofer Levi, Universidad de Stanford)

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