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Contenido
Primera Página
La transformación de la realidad
Una idea sin nombre
La gran síntesis
¿Cómo funcionan las wavelets?
Las wavelets en el futuro
Cronología
Créditos
  Wavelets: ver el bosque y los árboles

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¿Cómo funcionan las wavelets?

Hasta ahora, la principal aplicación excepcional de las wavelets ha sido la compresión de imágenes digitales. Son el eje central del nuevo estándar de imágenes digitales JPEG-2000 y del método WSQ (del inglés Wavelet Scalar Quantization, cuantización escalar de wavelets) que utiliza el FBI para comprimir su base de datos de huellas dactilares. En este contexto, se puede pensar en las wavelets como los componentes básicos de las imágenes. Una imagen de un bosque puede estar formada por las wavelets más amplias: una gran franja de verde para el bosque y una mancha de azul para el cielo. Las wavelets de mayor detalle y nitidez se pueden utilizar para distinguir un árbol de otro. Es posible añadir ramas y agujas a la imagen con wavelets aún más finas. Al igual que una pincelada de un cuadro, cada wavelet no es una imagen en sí, pero muchas wavelets juntas pueden recrear cualquier cosa. A diferencia de una pincelada de un cuadro, una wavelet puede hacerse arbitrariamente pequeña: una wavelet no tiene limitaciones físicas de tamaño porque sólo se trata de una serie de ceros y unos almacenados en la memoria de una computadora.

En contra de la creencia popular, las wavelets en sí no comprimen una imagen: su finalidad es permitir la compresión. Para comprender por qué, supongamos que una imagen se codifica como una serie de números distribuidos en el espacio, tales como 1, 3, 7, 9, 8, 8, 6, 2. Si cada número representa la oscuridad de un píxel, siendo 0 el blanco y 15 el negro, esta cadena representa una especie de objeto gris (los 7, 8 y 9) sobre un fondo claro (los 1, 2 y 3).

El tipo más sencillo de análisis multiresolución filtra la imagen calculando el promedio de cada par de píxeles adyacentes. En el ejemplo anterior, el resultado es la cadena 2, 8, 8, 4: una imagen de menor resolución que todavía muestra un objeto gris sobre un fondo claro. Si quisiéramos reconstruir una versión degradada de la imagen original a partir de esto, podríamos hacerlo repitiendo cada uno de los números de la cadena: 2, 2, 8, 8, 8, 8, 4, 4.

Sin embargo, supongamos que queremos recuperar la imagen original perfectamente. Para hacerlo, tendríamos que guardar en primer lugar cierta información adicional, es decir, un conjunto de números que se puedan añadir o restar a la señal de baja resolución para obtener la señal de alta resolución. En el ejemplo, esos números son -1, -1, 0 y 2. (Por ejemplo: al añadir -1 al primer píxel de la imagen degradada, el 2, se obtiene 1, el primer píxel de la imagen original; al restarle -1 se obtiene 3, el segundo píxel de la imagen original.)

Por tanto, el primer nivel del análisis multiresolución divide la señal original en una parte de baja resolución (2, 8, 8, 4) y una parte de alta frecuencia o "detalle" (-1, -1, 0, 2). Los detalles de alta frecuencia se denominan también coeficientes de wavelets de Haar. De hecho, todo este procedimiento es la versión multiresolución de la transformación de wavelets que Haar descubrió en 1909.

Puede parecer que no se ha ganado nada en el primer paso de la transformación de wavelets. Había ocho números en la señal original y siguen habiendo ocho números en la transformación. Pero, en una imagen digital típica, la mayoría de los píxeles se parecen mucho a sus vecinos: los píxeles del cielo se encuentran junto a los píxeles del cielo, y los píxeles del bosque junto a píxeles del bosque. Esto significa que los promedios de los píxeles próximos serán casi iguales que los píxeles originales y, por tanto, la mayoría de los coeficientes de detalle serán cero o estarán muy próximos a cero. Si simplemente redondeamos estos coeficientes a cero, entonces la única información que necesitamos conservar es la imagen de baja resolución junto con algunos coeficientes de detalle que no se hayan redondeado a cero. Por consiguiente, la cantidad de datos necesarios para almacenar la imagen se ha comprimido con un factor próximo a 2. El proceso de redondeo de números de gran precisión a números de baja precisión con menos dígitos se denomina cuantización (la "Q", del inglés "quantization", en "WSQ"). Un ejemplo es el proceso de redondeo de un número en dos cifras significativas.

El proceso de transformación y cuantización se puede repetir tantas veces como se desee, y cada vez disminuirán los bits de información según un factor de casi 2 y se degradará ligeramente la calidad de la imagen. En función de las necesidades del usuario, el proceso se puede detener antes de que la resolución baja comience a apreciarse o continuar hasta obtener una imagen "en miniatura" de muy baja resolución con capas de detalles cada vez más precisos. Con el estándar JPEG-2000, se pueden conseguir índices de compresión de 200:1 sin diferencias perceptibles en la calidad de la imagen. Tales descomposiciones en wavelets se obtienen al calcular el promedio de más de dos píxeles próximos cada vez. La transformación de wavelets de Daubechies más simple, por ejemplo, combina grupos de cuatro píxeles, mientras que otras más suaves combinan seis, ocho o más.

Las wavelets permiten comprimir imágenes con muy poca degradación de la calidad. De izquierda a derecha, imagen original, la misma imagen comprimida en una proporción de 200:1 mediante tecnología JPEG estándar y la misma imagen comprimida en la misma proporción mediante JPEG-2000, un método que utiliza wavelets. (Imagen cedida por ImageState; gráfico manipulado por Aware, Inc.)

Una propiedad fascinante de las wavelets es que eligen automáticamente las mismas características que nuestros ojos. Los coeficientes de las wavelets que quedan aún tras la cuantización corresponden a píxeles que son muy distintos a sus vecinos, en el borde de los objetos de una imagen. Por tanto, las wavelets recrean una imagen principalmente trazando bordes, que es exactamente lo que hacen los humanos cuando esbozan un dibujo. De hecho, algunos investigadores han sugerido que la analogía entre las transformaciones de wavelets y la visión humana no es accidental, y que nuestras neuronas filtran las señales visuales de forma parecida a las wavelets.

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